单调队列和单调栈详解

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前言

单调栈和单调队列算是栈和队列的高级应用吧,在公司面试中应该是不怎么会出现的(除非算法岗?)。
因为原理比较简单,网络上的相关资料反而对于这两个东西说得都不甚清楚,尤其是它们的应用方法。最基本的两本中文算法书“紫书”和“白皮”都没有提到。

而我因为平日要做的事情也很多,仓促中写下的这篇文章难免表达上会有不清晰的地方和各种疏漏,希望读者不吝赐教=v=。

栈和队列这两种基础数据结构戳:TBC。

先说明一下,无论是栈还是队列,我们把元素进入的一端称作“尾部”,并用双引号标出,另一端称作“尾部”。对于栈,头部即是栈底,尾部即是栈顶。对于队列,头部对应队首,尾部对应队尾。

monotone queue and stack

注:我不确定单调队列是否翻译成monotone queue,算法导论上没有提到这个数据结构,Bing上也没有搜索到对应它的结果(倒是返回了关于优先队列的结果)。

单调栈

我们都已经非常熟悉栈了,它具有先入后出的性质。而单调栈为了满足单调的要求,增加了一个性质:

  • 从栈顶到栈底的元素是严格递增(or递减)

显然,这和我们的正常的流程有一定矛盾之处——如果栈中是5 4 3 2 1,如果压入3怎么办?
原来我们只需要添加到栈尾即可,现在则需要将3 2 1弹出,再压入3,栈变成5 4 3
注:弹出的元素我们直接舍弃掉。

具体进栈过程

  • 对于单调递增栈,若当前进栈元素为e,从栈顶开始遍历元素,把小于e或者等于e的元素弹出栈,直接遇到一个大于e的元素或者栈为空为止,然后再把e压入栈中。
  • 对于单调递减栈,则每次弹出的是大于e或者等于e的元素。

一个单调递增栈的例子:

进栈元素分别为3,4,2,6,4,5,2,3

第i步操作结果
13进栈3
23出栈,4进栈4
32进栈4 2
42、4出栈,6进栈6
54进栈6 4
64出栈,5进栈6 5
72进栈6 5 2
82出栈,3进栈6 5 3

这里提供一个递增的单调栈的图,元素依次为3,2,8,4,5,7,6,4
注意看随着i的变化,栈中元素的变化。
monotone queue example 1

单调队列

对于单调队列,从单调栈的性质我们可以类推出:

  • 从队列头到队列尾的元素是严格递增

添加元素e到队尾时,我们采取的解决方法同样是,先从队尾删去小于等于e的元素。
注意,普通的队列queue是不支持从队尾删除的,我们需要使用双端队列deque,即有两个指针,一头一尾。

队列的大小问题

在谈及单调栈时,我略去了栈的大小这一个问题,因为在实际使用中(比如函数调用栈)栈就通常没有大小的概念。而对于队列,它的大小就很重要了。
如果队列满了,我们的解决方法是,将队列头的元素弹出,再添加新的元素到队列尾。

具体入队过程

  • 对于单调递增队列,设当前准备入队的元素为e,从队尾开始把队列中的元素逐个与e对比,把比e大或者与e相等的元素逐个删除,直到遇到一个比e小的元素或者队列为空为止,然后把当前元素e插入到队尾。
  • 对于单调递减队列也是同样道理,只不过从队尾删除的是比e小或者与e相等的元素。

一个递增单调队列的例子

队列大小不能超过3,入队元素依次为3,2,8,4,5,7,6,4

第i步操作结果
13入队3
23从队尾出队,2入队2
38入队2 8
48从队尾出队,4入队2 4
55入队2 4 5
62从队头出队,7入队4 5 7
77从队尾出队,6入队4 5 6
86、5、4从队尾出队,4入队4

monotone queue example 2

单调队列和单调栈的区别和联系

单调队列和单调栈的相同点

  • 单调队列和单调栈的“头部”都是最先添加的元素,“尾部”都是最后添加的元素。
  • 递增和递减的判断依据是:从栈底(队尾)到栈顶(队首),元素大小的变化情况。所以队列和栈是相反的。
  • 它们的操作是非常相似的。当队列长度为无穷大时,递增的单调队列和递减的单调栈,排列是一样的!
    原因在于,长度为无穷大的的队列不会在“头部”有popfront操作,而在“尾部”的操作是一模一样的:数据都从“尾部”进入,并按照相同的规则进行比较。
  • 两者维护的时间复杂度都是O(n),因为每个元素都只操作一次。

区别

  • 队列可以从队列头弹出元素,可以方便地根据入队的时间顺序(访问的顺序)删除元素。
  • 这样导致了单调队列和单调栈维护的区间不同。当访问到第i个元素时,单调栈维护的区间为[0, i),而单调队列维护的区间为(lastpop, i)
  • 单调队列可以访问“头部”和“尾部”,而单调栈只能访问栈顶(也就是“尾部”)。这导致单调栈无法获取[0, i)的区间最大值/最小值。

综上所述,单调队列实际上是单调栈的的升级版。单调栈只支持访问尾部,而单调队列两端都可以。当然,单调栈的编程上(两个函数)比单调队列(三个函数)要简单。

单调队列和单调栈的性质

下面的总结,如果没有特别指出是单调队列/单调栈,那么就不区分队列和栈,而且从“头部”到“尾部”数据是严格递减的,请读者自行注意。
  1. 具有单调性
  2. 容器中的元素个数永远不为空。(因为当添加一个元素时,它要么直接被添加到“尾部”,要么弹出k个比它小的数后再被添加到“尾部”)
  3. 对于一个元素i,我们可以知道在它左边区间,第一个比它小的值,也就是\({\rm{Max({ v[x]|x < i \& \& v[x] < v[i]} )}}\)
    在元素添加的过程中,我们会不断弹出比它小的值,最后一个弹出的值,即为所求。如果没有元素被弹出,那就无法求出,虽然这个数一定存在。
    顺便在这里多提一句,第二个比它小的数是一定不知道的,因为不确定是否被弹出
  4. 对于一个元素i,我们可以知道在它左边区间,第一个比它大的值,也就是\(Min\left( {{ v\left[ x \right]|x < i\& \& v\left[ x \right] > v\left[ i \right]} } \right)\)
    在弹出比i小的所有元素后,栈顶的元素即为所求。如果栈为空,也无法求出。
  5. 根据2和3,它们是元素插入时所获得的信息,我们可以推出当元素被弹出时能获得的信息:在右边区间,第一个比它大的值。
  6. 我们可以统计在添加元素过程中,弹出了多少个元素。

注:这里的大于和小于并不严谨,是为了表述尽量简单。请读者自己注意大于/大于等于,小于/小于等于。根据原则:容器中等于e的元素也会被弹出,进行判断即可。

单调队列和单调栈的应用

单调队列

  • 可以查询区间最值(不能维护区间k大,因为队列中很有可能没有k个元素)
  • 优化DP(见参考文献3)
    单调队列一般是用于优化动态规划方面问题的一种特殊数据结构,且多数情况是与定长连续子区间问题相关联。

单调栈即可完成的

对于某个元素i:

  • 左边区间第一个比它小的数,第一个比它大的数
  • 确定这个元素是否是区间最值
  • 右边区间第一个大于它的值
  • 到 右边区间第一个大于它的值 的距离
  • 确定以该元素为最值的最长区间

在具体题目里,如何使用单调栈和单调队列是一目了然的,不要强迫自己记忆,而是要理解
要想掌握好单调栈和单调队列,必须要做一些题

具体代码

单调队列

//在“尾部”添加元素x
while (l != r && mq[r] <= x) r--;
mq[++r] = x;

//查询队首元素
if (l != r) printf("%d\n", mq[l+1]);
else printf("-1\n");

//弹出队首元素
if (l != r) l++;

单调栈

//在“尾部”添加元素
while (r != 0 || ms[r] <= x) r--;
ms[++r] = x;

//查询栈顶元素
if (r != 0) printf("%d\n", ms[r]);
else printf("-1");

注:在前面的情况,我们是直接压入了元素e。但我们往往选择压入元素e的index(依据题型来决定),需要稍作修改,这里不提供对应代码。

题目总结

  • FZU 1894
    1.C name rp 名字为name人品为rp的人排到队尾
    2.G 队首的人出队
    3.Q 询问当前队列中rp最高的
    实现这三个操作。模板题。
    AC代码
  • POJ 2796
    最大化(区间min * 区间和)
    使用单调栈,从某一元素i向左右区间延伸,找到最大区间。
    AC代码
  • HDU 5033
    模板题
  • FJSDFZOJ 1308 音乐会的等待/诺诺的队列
    对于l和r,如果[l, r]内没有大于min(l,r)的数,则这两个数可以互相看见。
    求能互相看见的对数
    标程对题意的理解比较奇怪。
    AC代码

参考文献

I. 单调队列 单调栈总结
II. 单调栈的介绍以及一些基本性质
III. 单调队列,单调栈总结
IV. 单调队列或单调栈的学习及认识

4 评论

  1. 你好,这里是不是反了?
    “对于单调递增栈,若当前进栈元素为e,从栈顶开始遍历元素,把小于e或者等于e的元素弹出栈,直接遇到一个大于e的元素或者栈为空为止,然后再把e压入栈中。
    对于单调递减栈,则每次弹出的是大于e或者等于e的元素。”
    是不是应该是“对于单调递增栈,每次弹出的是比当前进栈元素大的 直到遇到第一个比当前元素小的,然后把当前元素压入栈中”

    1. 从我的理解上,单调递增栈的“单调递增”指的是弹出的值是单调递增的。
      However,名字并不重要,你按照你的理解,叫“单调递减栈”也行。
      明白原理即可,在具体使用中,你也不会关心它到底叫什么的哈哈

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