归并排序

首先考虑下如何将将二个有序数列合并。这个非常简单,只要从比较二个数列的第一个数,谁小就先取谁。然后再进行比较,如果有数列为空,那直接将另一个数列的数据依次取出即可。

//将有序数组a[]和b[]合并到c[]中  
void merge(int a[], int n, int b[], int m, int c[]) {
    int i, j, k;  
    i = j = k = 0;  
    while (i < n && j < m) {  
        if (a[i] < b[j]) c[k++] = a[i++];  
        else c[k++] = b[j++];   
    }  
    while (i < n) c[k++] = a[i++];  
    while (j < m) c[k++] = b[j++];  
}  

可以发现合并有序数列的效率是非常高的,有O(N)此时N = len(a)+len(b)。

加上一点分治的想法:
mergesort1

从而对于一个数组,我们可以如下的方式二分分治:
mergesort2

如上图所示,最下面是我们需要排序的数组。我们把它分成N个长度为1的区间。那么相邻两个区间进行一次… Read the rest

前言

单调栈和单调队列算是栈和队列的高级应用吧,在公司面试中应该是不怎么会出现的(除非算法岗?)。
因为原理比较简单,网络上的相关资料反而对于这两个东西说得都不甚清楚,尤其是它们的应用方法。最基本的两本中文算法书“紫书”和“白皮”都没有提到。

而我因为平日要做的事情也很多,仓促中写下的这篇文章难免表达上会有不清晰的地方和各种疏漏,希望读者不吝赐教=v=。

栈和队列这两种基础数据结构戳:TBC。

先说明一下,无论是栈还是队列,我们把元素进入的一端称作“尾部”,并用双引号标出,另一端称作“尾部”。对于栈,头部即是栈底,尾部即是栈顶。对于队列,头部对应队首,尾部对应队尾。

monotone queue and stack

注:我不确定单调队列是否翻译成monotone queue,算法导论上没有提到这个数据结构,Bing上也没有搜索到对应它的结果(倒是返回了关于优先队列的结果)。

单调栈

我们都已经非常熟悉栈了,它具有先入后出的性质。而单调栈为了满足单调的要求,增加了一个性质:

  • 从栈顶到栈底的元素是严格递增(or递减)

显然,这和我们的正常的流程有一定矛盾之处——如果栈中是5 4 3 2 1,如果压入3怎么办?
原来我们只需要添加到栈尾即可,现在则需要将3 2 1弹出,再… Read the rest

为什么要使用树状数组

比如说,我这里有一组数1, 2, 3, 2, …, k。我想知道第i到第j的和\(\mathop \sum \limits_{n = i}^j v[i]\)是多少?

朴素算法:

for (int k = 0; k < n; k++)
    if (k >= i && k <= j) ans += v[k];

类似这种的写法,虽然在某些点值改变时也依然可以计算(我们称这种问题为动态问题),但复杂度最高到O(n),实在难以接受。

树状数组是通过前缀和思想,用来完成单点更新和区间查询的数据结构。它比之线段树,所用空间更小,速度更快,而且编程的复杂难度也大大减小。和ST相比,它可以动态更新数据。

前缀和

我们可以把查询区间和问题转化为前缀和问题。
前缀和是指:v[1]~v[i]的和,记作sum(i)。

如果我们能够计算s和t的前缀和,用sum(t)−sum(s−1)可以得到区间[s, t]的和。

而树状数组正是一个支持求前缀和的数据结构。

什么是树状数组

(如果你学过线段树,可以先从最后“树状数组的缺陷”看起,树状数组的灵感来源脉络会更加清晰)
Binary Indexed Tree
我们依据二进制的思想,让”为1的最低位”在第一位的数(即奇数),储存长度为1的区间和… Read the rest